╚KANGOUROU DES MATHÉMATIQUES 2003╩ ╓ ╚ÉTUDIANTS╩ ╓ C ╓
des millions de participants dans toute l'Europe
Jeudi 20 mars 2003 ≈ Durée : 50 minutes
Épreuve Étudiants
• L'épreuve est individuelle. Les calculatrices sont interdites.
• Il y a une seule bonne réponse par question. Les bonnes réponses rapportent 3,4 ou 5 points selon leur difficulté (premier, deuxième et troisième tiers de ce questionnaire), mais une réponse erronée coûte un quart de sa valeur en points. Si aucune réponse n'est donnée, la question rapporte 0 point.
• Il y a deux manières de gagner des prix : ╚ crack ╩ (au total des points) et ╚ prudent ╩ (un maximum de réponses consécutives sans erreur depuis la première question). Environ 1 participant sur 5 reçoit un prix. Les classements sont séparés pour les Terminale S et pour les étudiants (Bac+).
QUESTION 17
On part d'un triangle équilatéral. On construit le cercle circonscrit au triangle, puis un carré circonscrit à ce cercle. Ensuite, on construit le cercle circonscrit au carré, puis un pentagone régulier circonscrit à ce cercle. On continue ainsi jusqu'à construire un polygone régulier à 16 côtés. Combien y a-t-il de régions disjointes dans ce dernier polygone ?
QUESTION 18
Dans un repère orthonormal, un point P(x, y) est sur un cercle de centre M(2,2) et de rayon y. On sait que y > 2 et que x et y sont des entiers strictement positifs. Quelle est la plus petite valeur possible de x ?
QUESTION 19
On suppose que G et H sont deux entiers vérifiant G > H > 1 et tels que G,H,G + H,G-H soient des nombres premiers. On pose
S=G + H + (G-H) + (G + H).
Alors
QUESTION 20
Combien existe-t-il de façons de paver les cases blanches représentées dans la figure avec des dominos 1 × 2 ( ) ?
QUESTION 21
Un vendeur doit déterminer le prix d'un kangourou en peluche. Une enquête lui fournit les données suivantes. Si le prix est de 75 euros, il vendra 100 kangourous. Chaque fois que le prix est augmenté de 5 euros, 20 kangourous de moins seront vendus. Chaque fois que le prix est diminué de 5 euros, 20 kangourous de plus seront vendus. Le kangourou coûte 30 euros à la fabrication. Quel est le prix de vente qui maximise le bénéfice ?
QUESTION 22
IJKL est un rectangle tel que IJ = 16, JK = 12. IKM est un triangle rectangle en K tel que KM =15. Soit N le point d'intersection de (IM) et (KL). L'aire du triangle IKN est... ?
QUESTION 23
Sébastien oriente chaque arête d'un cube, obtenant ainsi, a priori, 12 vecteurs dont il fait la somme. Combien de résultats différents peut-il obtenir pour cette somme ?
QUESTION 24
On considère les 6 sommets d'un hexagone régulier et tous les segments joignant deux de ces points. On dit que deux segments sont étrangers s'ils n'ont pas de point commun (on tient compte des extrémités). Combien y a-t-il de paires de segments étrangers ?
Pour départager d▓éventuels premiers nationaux ex-œquo, le Kangourou pose deux questions subsidiaires.
QUESTION 25
QUESTION 26
Il y a des dragons tout vert et des dragons tout rouge. Chaque dragon rouge a 6 têtes, 8 jambes et 2 queues. Chaque dragon vert a 8 têtes, 6 jambes et 4 queues. En tout, cela fait 44 queues. Et on compte aussi 6 jambes vertes de moins que de têtes rouges. Combien y a-t-il de dragons rouges dans le donjon ?
A╘ACL-les Éditions du Kangourou, 12 rue de l▓épée de bois 75005 Paris
Sur Internet ≈> www.mathkang.org
LES RÉSULTATS
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